Question

如图，I是△ABC的内心，且CA+AI=BC．若∠BAC=80°，则∠ABC的大小为

 

，∠AIB的大小为

 

．

Answer 1

分析：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，由I是三角形内心，则AF+AI=BE，在线段BF上取点O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，
从而得出IO=BO，∠FBI=∠OIB=∠IBE=

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∠EAB，即可求得∠ABC和∠AIB的大小．

解答：解：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，
∵I是三角形内心，
∴AD=AF，CD=CE，BE=BF，AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE，
∴AF+AI=BE，
在线段BF上取点O，使FO=AF，△AFI≌△OFI，
∴∠IAF=∠IOF AI=IO，IO+AF=IO+FO=BF
∴IO=BO，∠EBI=∠OIB=∠IBF=

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∠EBA，∠ACI=∠IAF，∠IAF=∠IOF，
∵∠BAC=80°，
∴∠ABE=40°，
∴∠IBA=20°，
∵∠IAO=40°，
∴∠AIB=120°．
故答案为：40°；120°．

点评：本题考查了三角形的内心，内心的性质，利用性质求得结论．