Question

【题目】如图，在矩形中， ，为中点，连接. 动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，设运动时间为（秒）. 则_____时，为直角三角形

Answer 1

【答案】或

【解析】

△CMN是直角三角形时，有三种情况，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°，然后进行分类讨论求出t的值．

解：

过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图1，

∵B点是CH的中点，

∴BH=CH=OA=6，

∵AH=OC=8，

∴由勾股定理可求：AB=10，

∵AN=t，

∴BN=10-t，

∵NE∥AH，

∴△BEN∽△BHA，

∴ ，

∴ ，

∴EN=

∴FN=8-EN=，

当∠CMN=90°，

由勾股定理可求：AF=，

∵OM=t，

∴AM=12-t，

∴MF=AM-AF=12-t- =12-，

∵∠OCM+∠CMO=90°，∠CMO+∠FMN=90°，

∴∠OCM=∠FMN，

∵∠O=∠NFM=90°，

∴△COM∽△MFN，

∴，

∴ ，

∴t=，

当∠MNC=90°，

FN=

∴EN=

∵MF=12-

∴CE=OF=OM+MF=12-

∵∠MNF+∠CNE=90°，

∠ECN+∠CNE=90°，

∴∠MNF=∠ECN，

∵∠CEN=∠NFM=90°，

∴△CEN∽△NFM，

∴ ，

∴ ，
∴，
∵0＜t＜5，

∴；

当∠NCM=90°，
由题意知：此情况不存在，
综上所述，△CMN为直角三角形时，t=或.