Question

在直角坐标系中，过A（1，0），B（0，-3），C（-3，0）有一条抛物线，在抛物线上有一点P，组成以∠B为直角的Rt△BPC，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：先设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将B点坐标代入，求出抛物线的解析式，再求出直线BC的解析式，得到直线BC的斜率，再求出直线PB的解析式，与抛物线的解析式联立，即可得到P点的坐标．

解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将B点坐标代入，
得-3=-3a，解得a=1，
所以抛物线的解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x²+2x-3．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

b=-3 -3k+b=0

，解得

k=-1 b=-3

，
即直线BC的解析式为y=-x-3．
∵在Rt△BPC中，∠B=90°，
∴PB⊥BC，
∴直线PB的斜率为1，
设直线PB的解析式为y=x+t，
将B点坐标代入，得-3=t，
∴直线PB的解析式为y=x-3．
由

y=x-3 y=x2+2x-3

，得

x=0 y=-3

或

x=-1 y=-4

，
∴P点的坐标为（-1，-4）．

点评：本题考查运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式及其性质，两函数交点坐标的求法，难度适中．求出直线PB的斜率为1是解题的关键．