Question

如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．
（Ⅰ）求证：△MAC是等腰三角形；
（Ⅱ）若AC为⊙O的直径，AM=

5

，AB=

8 5

5

，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）先根据全等三角形的判定定理得出△ADM≌△CBM，△ADC≌△CBA，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）连接OM，由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答．

解答：解：（1）∵AD=BC，
∴∠BAC=∠ACD，
在△ADC与△CBA中，
∠ADC=∠ABC，AD=BC，∠BAC=∠ACD，
∴△ADC≌△CBA，
∴AB=CD，
在△ADM与△CBM中，
∠DAM=∠BCM，AD=BC，∠ADC=∠ABC，
∴△ADM≌△CBM，
∴DM=BM，
∴AM=CM，
∴△MAC是等腰三角形；

（2）连接OM，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵△ACM是等腰三角形，O为AC的中点，
∴OM⊥AC，即∠AOM=90°，
在△AOM与△ABC中，
∠ABC=∠AOM=90°，∠BAC=∠BAC，
∴△AOM∽△ABC，
∴

OA

AB

=

AM

AC

，即

OA

8 5 5

=

5

AC

，解得AC=4．

点评：本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．