Question

已知：如图，以△ABC两边AB、AC为边向外作等边△ADB和△AEC，DC、BE交于点O．

(1)求证：DC=BE；

(2)求∠BOC的度数；

(3)当∠BAC度数变化时，∠BOC是否变化，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵△ADB和△AEC是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°． ∴∠DAB＋∠BAC=∠CAE＋∠BAC，即∠DAC=∠BAE． 在△ADC和△ABE中， ∴△ADC≌△ABE(SAS)． ∴DC=BE． (2)解：∵△ADC≌△ABE， ∴∠ACD=∠AEB． ∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠AEC=60° ∴∠BOC=∠OCE＋∠OEC=∠ACE＋∠ACD＋∠OEC=∠ACE＋∠AEO＋∠OEC=60°＋∠AEC=60°＋60°=120°. (3)解：当∠BAC度数变化时，∠BOC度数不变，仍为120°，因为在求∠BOC的度数时，未涉及到∠BAC，即∠BOC的度数与∠BAC的度数无关，所以当∠BAC变化时，∠BOC仍为120°，是定值．

提示：

(1)欲证DC=BE，只需证△ADC≌△ABE，由等边三角形的条件可得到两对对应边相等，只需证夹角∠DAC=∠BAE． (2)∵∠BOC=∠OCE＋∠OEC=∠OCA＋60°＋∠OEC，由(1)△DAC≌△BAE，得∠OCA=∠OEA， ∴∠BOC=∠OEA＋60°＋∠OEC=60°＋60°=120°． (3)由于求∠BOC时，未涉及到∠BAC，故∠BOC的大小与∠BAC无关．