Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．
（1）求证：AC平分∠DAB．
（2）若AD=3，AC=，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）解：连接BC，
∴∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△DAC∽△CBA，
∴AD：AC=AC：AB，
∴3：=：AB，
∴AB=5．
分析：（1）先连接OC，由于CD是切线，那么OC⊥CD，而AD⊥CD，于是OC∥AD，再利用平行线的性质有∠OCA=∠DAC，又OC=OA，那么∠OCA=∠OAC，从而有∠DAC=∠OAC，可以判定AC平分∠DAB；
（2）连接BC，由于∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，可证△DAC∽△CBA，利用比例线段可求AB．
点评：本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、角平分线的判定、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OC、BC，并证明OC∥AD．