Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点A，与轴相交于点B，与轴相交于点C，抛物线经过点O、点A和点B，已知点A到轴的距离等于2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点H为直线上方抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，求点H的坐标；

（3）如图，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与△OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）;（2）H;（2，2）; （3）.

【解析】

（1）根据题意求出A、B坐标，由图像可知，图像经过原点，则c=0，设出抛物线解析式为，将A（4,2）、B（6,0）代入，即可得到答案.

（2）设H（, ）,作HD∥,当HD∥时，点H到的距离最大.设直线HD的解析式，并与抛物线解析式联立，得到一元二次方程，因为由函数图像可知，直线HD与，有且只有一个交点，所以△=0，求出c,进而求出H坐标，得到答案.

(3)通过运动过程中，分情况讨论，并将不规则图像利用分割法求解即可.

（1）由点A到轴的距离等于2得知，A的纵坐标是2

当y=2时，代入，得，则A（4,2）

当x=0时，代入，得y=6,则B（6,0）

由图像可知，图像经过原点，则c=0，则抛物线解析式为

将A（4,2）、B（6,0）代入

解得

所以抛物线的解析式

（2）

设H（, ）,作HD∥,当HD∥时，点H到的距离最大.

设直线HD的解析式，则

得化简得：

由函数图像可知，直线HD与，有且只有一个交点，所以△=

所以c=1

当c=1时，即为，

即,则

所以H（2,2）

综上所述，点H为直线上方抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，点H的坐标H（2,2）.

（3）第一种情况：下图：P点由O点运动到图（2）位置（M正好在AC上）轴时.

,由题意得：OP=ON=，则MN=.

=-

=

=

=

=

作CD⊥AO,于点D，交y轴于点Q

由：，可知B（6,0），C（0,6），则OC=6，

由（1）可知A(4,2),可知： ，

通过解直角三角形方法可知：即：

解得AD=,利用勾股定理得

∴

∵CD⊥，MP⊥

∴即解得

所以

第二种情况：下图：P点图（1）位置（M正好在AC上）轴运动到O点运动到时.

取中间过程图分析面积：

作CD⊥AO,于点D，交MN轴于点E，MN交AC于点F,MP交AC于点I.

由情况一可知则,代入得：

所以，

∴

∵CD⊥，AP⊥

∴MP∥CD,

∴，则

∴

=--

=-

=

当AO=OP时，是临界点，此时，t=2

综上所述：

第三种情况：下图：P点图（1）位置（P与A点重合）运动到MN经过点C时.

取中间过程图分析面积：

MN交y轴于点Q，交BC于点D，由题意知：，

=

此时=--

=-

=

临界点范围求值：

作CG⊥OP于点G，

OP=MP=CG=

OP=即解得：

第四种情况：下图：当△AOC完全被正方形覆盖时：

此时正方形边长＞△AOC中AO边上的高，即＞,得t＞

==A点横坐标=

即当t＞，S=12

综上所述