Question

设AB是⊙O中一条小于直径的弦，将△OAB绕圆心O顺时针旋转一个角α（0°＜α＜360°），得△OA′B′．问在旋转过程中，动弦A′B′能否通过AB上的每一个点？证明你的结论．

Answer 1

解：设AB的中点为C，A′B′能经过除C点外的AB上的任一个点．
如图：
以O为圆心，OC为半径作小圆O，任取弦AB上异于C点的一点P，
则P在小圆O外，过P引小圆的两条切线，其中一条为弦AB，另一条为A′B′，它们的弦心距OC=OC′，
所以AB=A′B′，将△OAB绕O旋转α=∠COC′到△OA′B′，则A′B′就可以经过AB上异于C的点P．
若A′B′经过点C，由AB与A′B′不重合，则A′B′是小圆的割线，
由A′B′的弦心距OC′＜OC，得到A′B′＞AB，这是不可能的．
因此，在旋转过程中，弦A′B′经过AB上除点C的每一点．
分析：根据题意画出图形，运用旋转得到△OA′B′，过点O作OC⊥AB于C，然后证明A′B′经过AB上除点C外的每一个点．
点评：本题考查的是圆与圆的位置关系，△OAB在旋转的过程中，根据弦心距可以得到同心圆，然后确定A′B′不经过点C．