Question

如图，已知抛物线与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

    ⑴点B的坐标为    ，点C的坐标为    （用含b的代数式表示）；

⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

   

Answer 1

解：⑴B（b，0），C（0，）；

⑵假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.

  设点P坐标（x，y），连接OP，

  则，∴.

  过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，

  ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°. ∴四边形PEOD是矩形. ∴∠EPD=90°.

∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°.

∴∠EPC=∠BPD.

∴△PEC≌△PDB. ∴PE=PD，即x=y.

由 ，解得： .

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ，解得符合题意.

∴点P坐标为（，）.

⑶假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.

  ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴.

∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°.

由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA.

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.

（Ⅰ）当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .

      由得：，

解得：. ∵，∴，.

∴点Q坐标为（1，）.

（Ⅱ）当∠OQC=90°时，△QOA≌△OCQ. ∴，即.

又. ∴，即.

解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意. ∴点Q坐标为（1，4）.

∴综上可知：存在点Q（1，）或（1，4），使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.