Question

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c．

【小题1】(1)求A、B、C三点的坐标．
【小题2】(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
【小题3】 (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

Answer 1

【小题1】解：(1)令y=0，得x₂-1="0 " 解得x=±1
令x=0，得y=-1
∴A(-1，0)  B(1，0)  C(0，-1)
【小题2】(2)∵OA="OB=OC=1 " ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°
∵AP∥CB，∴∠PAB=45°
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形
令OE=a，则PE="a+1 " ∴P(a，a+1)
∵点P在抛物线y=x²-1上 ∴a+1=a##2-1
解得a₁=2，a₂=-1(不合题意，舍去)
∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE=×2×1+×2×3=4
【小题3】(3)假设存在                        
∵∠PAB=∠BAC=45° ∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA="OC=1 " ∴AC=
在Rt△PAE中，AE="PE=3 " ∴AP=
设M点的横坐标为m，则M(m，m²-1)
①点M在y轴左侧时，则m＜-1
(i)当△AMG∽△PCA时，有
∵AG=-m-1，MG=m²-1
即  解得m₁=-1(舍去)  m₂=(舍去)
(ii)当△MAG∽△PCA时有
即  解得：m=-1(舍去)  m₂=-2
∴M(-2，3)
②点M在y轴右侧时，则m＞1          
(i)当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1，MG=m₂-1
∴   解得m₁=-1(舍去)  m₂= ∴
(ii)当△MAG∽△PCA时有
即
解得：m₁=-1(舍去)  m₂="4 " ∴M(4，15)
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为(-2，3)，(，)，(4，15)

解析