题目内容
（2011•辽阳）如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）分析：应合理应用∠CAQ的度数，CD的长度，所以过点D作CA的平行线得到平行四边形．过点D向对边引垂线，得到直角三角形，进而利用三角函数值求得河宽．
解答：
解：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F．（1分）
∵PQ∥MN，
∴四边形AECF为矩形．
∴EC=AF，AE=CF．（2分）
设这条河宽为x米，
∴AE=CF=x．
在Rt△AED中，
∵∠ADP=60°，
∴ED=
=
=
x．（4分）
∵PQ∥MN，
∴∠CBF=∠BCP=30°．
∴在Rt△BCF中，
BF=
=
=
x．（6分）
∵EC=ED+CD，AF=AB+BF，
∴
x+110=50+
x．
解得x=30
．
∴这条河的宽为30
米．（10分）
解：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F．（1分）∵PQ∥MN，
∴四边形AECF为矩形．
∴EC=AF，AE=CF．（2分）
设这条河宽为x米，
∴AE=CF=x．
在Rt△AED中，
∵∠ADP=60°，
∴ED=
| AE |
| tan60° |
| x | ||
|
| ||
| 3 |
∵PQ∥MN，
∴∠CBF=∠BCP=30°．
∴在Rt△BCF中，
BF=
| CF |
| tan30° |
| x | ||||
|
| 3 |
∵EC=ED+CD，AF=AB+BF，
∴
| ||
| 3 |
| 3 |
解得x=30
| 3 |
∴这条河的宽为30
| 3 |
点评：本题考查解直角三角形的应用．难点是作出辅助线，利用三角函数求解．
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