Question

如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=13，BC=12，CD=4，AD=3．
求：（1）AC的长度；
（2）判断△ACB是什么三角形？并说明理由？
（3）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：直角三角形中知道两直角边的长度，由勾股定理即可得到斜边AC的长度．求出AC长度后我们就得知了△ACB的三边长度，经分析AC²+BC²=AB²，由勾股定理推论可以得出三角形ACB为直角三角形．四边形ABCD是由两个已知边长的直角三角形组成的，我们可以分别求出两个直角三角形的面积，它们的和就是四边形ABCD的面积．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，CD=4，AD=3
由勾股定理，得CD²+AD²=AC²
∴AC=

CD2+AD2

=

42+32

=5；

（2）△ACD是直角三角形；
理由如下：∵AB=13，BC=12，AC=5
∴BC²+AC²=12²+5²=169AB²=13²=169
∴BC²+AC²=AB²
∴△ACB是Rt△，∠ACB=90°；

（3）S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=

1

2

×12×5+

1

2

×4×3=30+6=36．

点评：我们可以利用勾股定理求直角三角形边长，同时也可以利用勾股定理反证三角形是否为直角三角形，在运算题中要灵活运用．