Question

小明同学在用纸杯喝水时，对纸杯产生了兴趣，发现纸杯是圆台形状（一个大圆锥截去一个小圆锥后的余下部分），如图，他对纸杯进行测量，测得上口直径AC=7.5cm，下底直径BD=5cm，母线长CD=9cm，请你帮助小明计算制成这个纸杯至少需用纸的面积是

 

cm²．（连接处忽略不计，结果用含π的代数式表示）

Answer 1

分析：利用相似可分别求得两个圆锥的母线长，需用纸的面积=两个圆锥的侧面积相减，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

解答：解：如图是圆锥的正截面，OH⊥HE，GF∥HE，作FW⊥HE．
∴GF=WH=2.5，HE=3.75，WE=1.25，EF=9，
四边形FGHW是矩形，EF：EO=WE：HE，
∴OE=

EF•HE

WE

=27，OF=18，
小圆锥的侧面面积=

1

2

×5π×18=45π，
大圆锥的侧面面积=

1

2

×7.5π×27=101.25π，
∴圆台的侧面面积=101.25π-45π=56.25πcm²．
又∵S_底=π（

5

2

）²=6.25πcm²
故至少需用纸的面积是56.25π+6.25π=62.5πcm²

点评：本题利用了矩形的性质，平行线截对应线段成比例，圆的周长公式，扇形的面积公式求解．