Question

已知：抛物线与x轴的两个交点分别为A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C.

（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出点C的坐标________，顶点D的坐标为__________；
（3）将直线CD沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后直线m的解析式；
（4）在直线m上是否存在一点E，使得以点E、A、B、C为顶点的四边形是梯形，如果存在，请直接写出所有满足条件的E点的坐标__________________________________（不必写出过程）．

Answer 1

（2）；（2）（0，3），（2，-1）；（3）；（4）（-1，2）或（-1.5，3）

试题分析：（1）由抛物线过点A（1，0）和B（3，0）根据待定系数法列方程组求解即可；
（2）根据（1）中求得的函数解析式结合二次函数的性质求解即可；
（3）先设CD：，由点C、D的坐标根据待定系数法即可求得直线CD的解析式，再根据直线的平移规律：上加下减，即可求得结果；
（4）根据梯形的对边平行再结合一次函数的性质求解即可.
试题解析：（1）∵抛物线过点A（1，0）和B（3，0）
∴，解得
∴此二次函数的解析式为；
（2）在中，当x=0时，y=3，所以点C的坐标为（0，3）
因为，所以顶点D的坐标为（2，-1）；
（3）设CD：
∵图象过点（0，3），（2，-1）
∴，解得
∴CD：,沿y轴向下平移3个单位长度后直线m的解析式为；
（4）（-1，2）或（-1.5，3）.