Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=5，BC=3，AC与BD相交于点M，且DM=

20

7

．
（1）求证：△ABM∽△CMD；
（2）求∠BCD的正弦值．

Answer 1

分析：（1）AB∥DC，AC、BD相交于点M，即可证明△DFE∽△DAB．
（2）由△AMB∽△CMD，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．

解答：（1）证明：
∵AB∥DC，AC、BD相交于点M，
∴△AMB∽△CMD

（2）解：∵△AMB∽△CMD，∴

AB

CD

=

MB

MD

∴MB=

AB

CD

•MD=

2

5

×

20

7

=

8

7

∴DB=DM+MB=4
∴BC²+BD²=DC²
∴△DBC为直角三角形（∠DBC=90°）
∴sin∠BDC=

BC

DC

=

3

5

．

点评：此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，难度适中．