Question

27、如图1，两个不全等的四边形ABCD、四边形CGFE是正方形，连接BG，DE．交DC于H，交CG于K
（1）观察图形，①猜想BG与DE之间长度关系；②猜想BG与DE所在直线的位置关系，并证明你的猜想．
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是

正方

形
（2）如图2，将原题中正方形改为菱形，且∠BCD=∠GCE=90°．则（1）中的①、②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是

正方

形

（3）如图3，将原题中正方形改为矩形，且BC=mCG、CD=mCE则（1）中的①、②结论是否成立？不要证明
直接回答：连接四边形DBEG四边中点所得四边形是

矩

形．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得到BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，推出∠BCG=∠ECD，根据SAS证△BCG≌△DCE，得到BG=DE，∠GBC=∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠DOH即可；
（2）根据正方形的判定证出是正方形，由（1）说明即可；
（3）根据三角形的中位线定理证出是平行四边形，根据对角线垂直证出一个角是直角，即可得出答案．

解答：（1）解：①BG与DE之间长度关系是BG=DE，②BG与DE所在直线的位置关系是BG⊥DE，
证明：∵正方形ABCD、EFGC，
∴BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCG=∠ECD，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠GBC=∠CDE，
∵∠GBC+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DEG=90°，
∴∠DOH=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE．
故答案为：正方．

（2）成立，
证明：∵菱形ABCD、EFGC，
∵∠BCD=∠GCE=90°，
∴菱形ABCD、EFGC是正方形，
由（1）证出BG=DE，BG⊥DE，
∴仍成立．
故答案为：正方．

（3）答：①不成立，②成立，
故答案：矩．

点评：本题主要考查对三角形的中位线定理，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直的定义，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．