题目内容

已知平行四边形ABCD的周长为28，过顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F，若AE=3，AF=4，求CE-CF的值．

解：如图1：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∵∠AED=∠AFB=90°，
∴△ADE∽△ABF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=BC=6，AB=DC=8，
∴由勾股定理得：DE= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，BF= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ＞6，
即F在BC的延长线上，
∴EC=DC-DE=8-3 $\text{[math]}$ ，CF=BF-BC=4 $\text{[math]}$ -6，
∴CE-CF=（8-3 $\text{[math]}$ ）-（4 $\text{[math]}$ -6）=14-7 $\text{[math]}$ ；
如图2：∵AE⊥DC，AF⊥BC，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠CBA，AB=CD，AD=BC，
∴∠ADE=∠ABF，
∴△ADE∽△ABF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AD+CD+BC+AB=28，
即AD+AB=14，
∴AD=6，AB=8，
由勾股定理得：DE=3 $\text{[math]}$ ，BF=4 $\text{[math]}$ ，
∴EC=CD+DE=8+3 $\text{[math]}$ ，CF=BC+BF=6+4 $\text{[math]}$ ，
∴CE-CF=（8+3 $\text{[math]}$ ）-（6+4 $\text{[math]}$ ）=2- $\text{[math]}$ ，
综合上述CE-CF=14-7 $\text{[math]}$ 或2- $\text{[math]}$ ．
分析：先画出符合条件的两种情况的图形，可证得△ADE∽△ABF，又由四边形ABCD是平行四边形，即可求得AB与AD的长，然后根据勾股定理即可求得DE与BF的长，继而求得答案．
点评：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定的应用，关键是正确画出图形，题目比较好，但是有一定的难度．