Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90゜，G为AB中点，在线段DG上取点F，使FG=AG，过点F作FE⊥DG交AD于点E，连接EC交DG于点H，已知EC平分∠DEF．
求证：
（1）∠AFB=90゜； 
（2）AF∥EC；
（3）DH•FG=FH•DG．

Answer 1

分析：（1）根据FG=AG=BG，即可推出答案；
（2）求出∠EFA=∠EAF，推出2∠FEH=2∠EFA，推出∠FEH=∠EFA，根据平行线判定推出即可；
（3）根据平行线分线段成比例定理得出

DH

FH

=

DE

EA

，证△EFD∽△GAD，推出

DE

EF

=

DG

AG

，代入求出

DE

EA

=

DG

FG

，推出

DH

FH

=

DG

FG

即可．

解答：证明：（1）∵G为AB的中点，
∴AG=BG，又FG=AG，
∴FG=AG=BG，即FG=

1

2

AB，
∴∠AFB=90°．

（2）∵FG=AG，
∴∠GFA=∠GAF，
又EF⊥FD，
∴∠EFG=∠EAG=90°，
∴∠EFG-∠GFA=∠EAG-∠GAF，即∠EFA=∠EAF，
又EC为∠DEF的平分线，
∴∠DEC=∠FEC，
∵∠DEF为△EAF的外角，
∴∠DEF=∠DEC+∠FEC=2∠FEC=∠EFA+∠EAF=2∠EFA，
∴∠FEC=∠EFA，
∴AF∥EC．

（3）∵AF∥EC，
∴

DH

FH

=

DE

EA

，
∵∠EFD=∠GAD=90°，∠EDF=∠GDA，
∴△EFD∽△GAD，
∴

DE

EF

=

DG

AG

，
∵∠EFA=∠EAF，
∴AE=EF，
又∵AG=FG，
∴

DE

EA

=

DG

FG

，
∴

DH

FH

=

DG

FG

，
即DH•FG=FH•DG．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定，直角三角形的判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，难度偏大．