Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=30°，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F，过点F作FG∥AC交AD（或延长线）于点G．
（1）当n=1时，则

FB

FA

=

 

，

EC

EF

=

 

．
（2）如图2，当n=

1

4

时，求证：FG²=

5

2

FE•FC；
（3）如图3，当n=

 

时，

FB

FA

=

1

2

．

Answer 1

分析：（1）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，由n=1时，可得E为AD的中点，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案；
（2）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，设AF=x，则BH=HF=nx．由∠B=30°，即可求得AC的值，然后过点C作CM⊥AB于点M，易求得MC与MF的值，由勾股定理即可求得FC²=MF²+MC²，然后由平行线分线段成比例定理，即可证得FG²=

5

2

FE•FC；
（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，设BH=x，则HF=x，FA=4x，根据平行线分线段成比例定理，即可求得n的值．

解答：解：（1）当n=1时，E为AD的中点，
过点D作DH∥CF交AB于点H，
则BH=HF=FA，CF=2DH=2×2EF=4EF，
∴

FB

FA

=2，

EC

EF

=3．

（2）过点D作DH∥CF交AB于点H，
设AF=x，则BH=HF=nx．
∵∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

（2n+1）x，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠ACM=∠B=30°，
∴MC=ACcos∠ACM=ACcos30°=

1

2

（2n+1）x•

3

2

=

(2n+1) 3

4

x，AM=

1

2

AC=

1

2

×

1

2

（2n+1）x=

2n+1

4

x，
∴MF=AF-AM=x-

2n+1

4

x=

3-2n

4

x，
∴FC²=MF²+MC²=（

3-2n

4

x）²+（

(2n+1) 3

4

x）²=

3+4n

4

x²，
∵

FE

HD

=

AF

AH

=

x

x+nx

=

1

1+n

，
∴FE=

1

1+n

HD=

1

1+n

×

1

2

FC，
∴FE•FC=

1

2+2n

FC²，

FE

FC

=

1

2+2n

，
∴

FE

FC-FE

=

1

2+2n-1

，即

FE

EC

=

1

2n+1

，
∴当n=

1

4

时，FC²=

3+4n

4

x²=x²，FE•FC=

1

2+2n

FC²=

2

5

x²，
∴x²=

5

2

FE•FC．
∵FG∥AC，
∴

FG

AC

=

FE

EC

=

1

2n+1

，
∴FG=

1

2n+1

AC=

1

2n+1

•

2n+1

2

x=x，
∴FC²=x²=

5

2

FE•FC．

（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，
设BH=x，则HF=x，FA=4x，
∴

DE

EA

=

HF

FA

=

x

4x

=

1

4

，
∴n=

1

4

．

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，三角函数的性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．