Question

已知是半圆的直径, 点在的延长线上运动(点与点不重合), 以为直径的半圆与半圆交于点的平分线与半圆交于点.
如图甲, 求证: 是半圆的切线;
如图乙, 作于点, 猜想与已有的哪条线段的一半相等, 并加以证明;
如图丙, 在上述条件下, 过点作的平行线交于点, 当与半圆相切时, 求

甲                                乙                                 
的正切值.

Answer 1

角度转换；三角形全等的变换；3

试题分析：(1) 如图甲, 连接, 则为半圆的半径, 而为半圆的直径, 所以,
即是半圆的切线;
(2) 猜想: .
证1: 如图乙, 以为直径作⊙, 延长交⊙于点,连接,
∵, ∴∵平分, ∴,
∴, ∴;

甲                        乙                        丙                     丁
证2: 如图丙, 连接相交于点. ∵平分, ∴,
∴, ∴可证, ∴;
(3) 如图丁, 延长交于点, 设, 则,
∵四边形是矩形, ∴, 同(2)证法是中点,
∴是中点, ∴,
可证∽, ∴, 即, 解得或.
当时, 点与点重合, 舍去; 当时, .
点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．