Question

已知抛物线C₁的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C₁向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C₂．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m²（m＞0）．

（1）求抛物线C₁的解析式的一般形式；

（2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C₁的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C₂交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

专题：

代数几何综合题．

分析：

（1）设抛物线C₁的顶点式形式y=a（x﹣1）²，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可；

（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C₂的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；

（3）先把直线AB与x轴的距离是m²代入抛物线C₁的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C₂的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．

解答：

（1）解：设抛物线C₁的顶点式形式y=a（x﹣1）²，（a≠0），

∵抛物线过点（0，），

∴a（0﹣1）²=，

解得a=，

∴抛物线C₁的解析式为y=（x﹣1）²，

一般形式为y=x²﹣x+；

（2）解：当m=2时，m²=4，

∵BC∥x轴，

∴点B、C的纵坐标为4，

∴（x﹣1）²=4，

解得x₁=5，x₂=﹣3，

∴点B（﹣3，4），C（5，4），

∵点A、C关于y轴对称，

∴点A的坐标为（﹣5，4），

设抛物线C₂的解析式为y=（x﹣1）²﹣h，

则（﹣5﹣1）²﹣h=4，

解得h=5；

（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m²，

∴点B、C的纵坐标为m²，

∴（x﹣1）²=m²，

解得x₁=1+2m，x₂=1﹣2m，

∴点C的坐标为（1+2m，m²），

又∵抛物线C₁的对称轴为直线x=1，

∴CE=1+2m﹣1=2m，

∵点A、C关于y轴对称，

∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m²），

∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，

设抛物线C₂的解析式为y=（x﹣1）²﹣h，

则（﹣1﹣2m﹣1）²﹣h=m²，

解得h=2m+1，

∴EF=h+m²=m²+2m+1，

∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，

∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

点评：

本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．