Question

设正n边形的半径为R，边长为a_n，边心距为r_n，则它们之间的数量关系是

a_n=2Rsin

180°

n

，r_n=Rcos

180°

n

．这个正n边形的面积S_n=

2nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，根据正n边形的半径为R，得出圆的半径为R，由垂径定理及锐角三角函数的定义即可求解．

解答：解：如图所示，过点O作OF⊥AB于点F交圆O于点E，
设正n边形的半径为R，则圆的半径为R，
∵∠AOF=

360°

2n

=

180°

n

，
∴AB=2AF=2Rsin

180°

n

；
同理，∵∠ODE=

360°

2n

=

180°

n

，
∴OF=Rcos

180°

n

，
∴边长为a_n=2Rsin

180°

n

，
边心距为r_n=Rcos

180°

n

，则它们之间的数量关系是：a_n=2Rsin

180°

n

，r_n=Rcos

180°

n

，
正n边形的面积S_n=n•2Rsin

180°

n

×Rcos

180°

n

=2nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．
故答案为：a_n=2Rsin

180°

n

，r_n=Rcos

180°

n

，2nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．

点评：本题考查的是正多边形和圆、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，利用数形结合是解答此题的关键．