题目内容
如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2．（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
分析：（1）根据DE⊥AC得到∠DFC=∠FCB=90°，从而得到四边形BCDP是梯形，然后在Rt△ABC中利用AC2+BC2=AB2求得AC，从而得到CF=AF=6，然后表示出y与x之间的函数关系即可；
（2）根据BC=9（定值），得到要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小，根据点P是线段AC垂直平分线上的点得到PA=PC，从而得到PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．然后分△DAE∽△ACB和△AFE∽△ACB即可求得AE的长．
（2）根据BC=9（定值），得到要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小，根据点P是线段AC垂直平分线上的点得到PA=PC，从而得到PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．然后分△DAE∽△ACB和△AFE∽△ACB即可求得AE的长．
解答：
解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠DFC=∠FCB=90°．
∴BC∥DF，
∴四边形BCDP是梯形．
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴AC=
=
=12．
在△ACD中，∵DA=DC，DF⊥AC，
∴CF=AF=6，
∴y=
(x+9)×6=3x+27（x＞0）．
（2）∵BC=9（定值）．理由如下：
∴要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小．
∵点P是线段AC垂直平分线上的点，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
如图，显然当P与E重合时PB+PA最小，
此时x=DP=DE，PB+PA=AB，
在△DAE和△ABC中，
∵BC∥DF，
∴∠AEF=∠B，
∵∠DFA=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴
=
，
即
=
，
在△AFE和△ACB中
∵∠FAE=∠CAB，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴
=
，
即
=
，
∴AE=
．
在Rt△ADE和△CAB中
∵∠AEF=∠B，
∴tan∠AEF=tan∠B，
∴
=
即
=
，
∴AD=10，
∴x=
．
∴当x=
时，△PBC的周长最小，此时y=
．
解：（1）∵DE⊥AC，∴∠DFC=∠FCB=90°．
∴BC∥DF，
∴四边形BCDP是梯形．
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴AC=
| AB2-BC2 |
| 152-92 |
在△ACD中，∵DA=DC，DF⊥AC，
∴CF=AF=6，
∴y=
| 1 |
| 2 |
（2）∵BC=9（定值）．理由如下：
∴要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小．
∵点P是线段AC垂直平分线上的点，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
如图，显然当P与E重合时PB+PA最小，
此时x=DP=DE，PB+PA=AB，
在△DAE和△ABC中，
∵BC∥DF，
∴∠AEF=∠B，
∵∠DFA=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴
| AD |
| DE |
| AC |
| AB |
即
| AD |
| x |
| 12 |
| 15 |
在△AFE和△ACB中
∵∠FAE=∠CAB，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴
| EF |
| AE |
| BC |
| AB |
即
| 6 |
| AE |
| 12 |
| 15 |
∴AE=
| 15 |
| 2 |
在Rt△ADE和△CAB中
∵∠AEF=∠B，
∴tan∠AEF=tan∠B，
∴
| AD |
| AE |
| AC |
| BC |
| AD | ||
|
| 12 |
| 9 |
∴AD=10，
∴x=
| 25 |
| 2 |
∴当x=
| 25 |
| 2 |
| 129 |
| 2 |
点评：本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力，题型比较好，综合性也比较强．
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