Question

已知：函数y=ax²+x+1的图象与x轴只有一个公共点。

（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax²+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax²+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，△=1-4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点， ∴函数的解析式为：y=x+1或y=x2+x+1； （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C， ∵y=ax2+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0）， 图象与y轴的交点坐标为A（0，1）， ∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B， ∴PB⊥AB，则∠PBC=∠BAO， ∴Rt△PCB∽Rt△BOA， ∴，故PC=2BC， 设P点的坐标为（x，y）， ∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角， ∴∠PBO是钝角， ∴x<-2， ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x）， ∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上， ∴-4-2x=x2+x+1， 解之得：x1=-2，x2=-10， ∵x<-2， ∴x=-10， ∴P点的坐标为：（-10，16）； （3）点M不在抛物线y=ax2+x+1上， 由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM， CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D， 取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ， ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE， ∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴， ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB， ∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=， CE=2QE=2×2BE=4BE， 又CB=8，故BE=，QE=， ∴Q点的坐标为（-，）， 可求得M点的坐标为， ∵， ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上。