Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，G是边AB的中点，平行于AB的动直线l分别交△ABC的边CA、CB于点M、N，设CM＝m.

（1）当m＝1时，求△MNG的面积；

（2）若点G关于直线l的对称点为点G′，请求出点G′ 恰好落在△ABC的内部（不含边界）时，m的取值范围；

（3）△MNG是否可能为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的m的值；如果不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜m＜4；（3）能，m＝2或

【解析】分析：（1）由l//AB可证△CMN∽△CAB利用相似的性质即可求出△MNG的边MN及MN边上的高，利用三角形的面积公式即可得出答案；

（2）根据点G关于直线l的对称点G′分别落在AB边、AC边时的m值，即可求出m的取值范围；

（3）分三种情况讨论（△MNG的三个内角分别为90°），即可得出答案.

详解：（1）当m＝1时，S△MNG＝＝．

（2）当点G关于直线l的对称点G′落在AB边时，m＝4，

当点G关于直线l的对称点G′落在AC边时，点M是AG′的中点，

由△AGG′∽△ACB，

可求AG′＝，

∴CM＝m＝4－＝，

∴点G′恰好落在△ABC的内部（不含边界）时，＜m＜4，

（3）△MNG能为直角三角形，

①当∠MGN＝90°时，

证得四边形CMGN为矩形，

∴M是AC的中点，

∴m＝2，

②当∠GMN＝90°时，

＝，

m＝，

③当∠GNM＝90°时，＝，

m＝－（不合题意，舍去），

∴m＝2或m＝时，△MNG是直角三角形.