Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）DC=3OG； （2）OG=BC； （ 3）OGE是等边三角形； （ 4）SAOE= S矩形ABCD

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】∵EF⊥AC，点G是AE中点，

∴OG=AG=GE=AE，

∵∠AOG=30°，

∴∠OAG=∠AOG=30°，

∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°，

∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；

设AE=2a，则OE=OG=a，

由勾股定理得，AO=== ,

∵O为AC中点，

∴AC=2AO=a，

∴BC=AC=×a= ,

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=,

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3a，

∴DC=3OG，故（1）正确；

∵OG=a， BC=a，

∴BC≠BC，故（2）错误；

∵S△AOE=a =,

SABCD=3a =3 a2，

∴S△AOE=SABCD，故（4）正确；

综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．

故选C．

点睛:本题考查了矩形的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等边三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,三角形的面积,设出AE.OG,然后用a表示出相关的边更容易理解.