Question

关于x的一元二次方程（a-b）x²+（b-c）x+（c-a）=0的两根相等，则a，b，c的关系应为________．

Answer 1

b+c=2a且a≠b．
分析：由关于x的一元二次方程（a-b）x²+（b-c）x+（c-a）=0的两根相等，则a-b≠0，且△=0，即△=（b-c）²-4（a-b）（c-a）=（b+c）²-4a（b+c）+4a²=（b+c-2a）²=0，即可得到a，b，c的关系．
解答：∵方程（a-b）x²+（b-c）x+（c-a）=0为一元二次方程且有两根相等，
∴a-b≠0，且△=0，
即△=（b-c）²-4（a-b）（c-a）=（b+c）²-4a（b+c）+4a²=（b+c-2a）²=0，
∴a≠b，且b+c-2a=0，即b+c=2a，
所以a，b，c的关系为b+c=2a且a≠b．
故答案为：b+c=2a且a≠b．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．