Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=3，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的线段长为4，试求二次函数的表达式．

Answer 1

分析：设抛物线与x轴的交点的横坐标为x₁，x₂，那么可以得到|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

，然后利用根与系数的关系和已知可以得到关于a、b、c的方程，又x=3时取得最大值10，由此可以得到关于a、b、c的方程，解这些方程组成的方程组即可求解．

解答：解：设抛物线与x轴的交点的横坐标为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-

b

a

，
x₁•x₂=

c

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4ac

a2

=4，①
而x=3时取得最大值10，
∴-

b

2a

=3，②

4ac-b2

4a

=10，③
联立①②③解得：
a=-

5

2

，b=15，c=-

25

2

．
则该抛物线的解析式为：y=-

5

2

x²+15x-

25

2

．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数的最值等知识，解题的关键是利用前面的知识建立关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．