Question

(2007，辽宁省大连市，23)如图1，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”“菱形”和“任意平行四边形”(如图2、图3、图4)，其他条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”的结论．

你同意小明的观点吗？若同意，请结合图4加以证明；若不同意，请说明理由．

　

Answer 1

答案：略
解析：

解：同意 方法一： 证明：如图，延长AE交BC的延长线于点G． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠D=∠ECG． ∵E为DC的中点，∴DE=EC， 又∵∠DEA=∠CEG，∴△ADE≌△GCE(ASA)． ∴AE=GE，∠DAE=∠G． ∵∠FAE=∠DAE， ∴∠FAE=∠G． ∴FA=FG． ∴EF⊥AE． 方法二： 证明：如图，在AF上截取AG=AD，连接EG、GC． ∵∠FAE=∠EAD，AE=AE， ∴△AEG≌△AED(SAS)． ∴DE=GE，∠AGE=∠D， ∠1=∠2． ∵点E是DC的中点， ∴EC=DE，∴EC=GE． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BCD＋∠D=180°． ∵∠EGF＋∠AGF=180°，∴∠BCD=∠EGF． ∵EG=EC，∴∠EGC=∠ECG． ∴∠FGC=∠FCG．∴GF=FC． 又∵EF=EF，∴△GEF≌△CEF(SSS)． ∴∠3=∠4． ∴． ∴EF⊥AE．