Question

（2007•中山区二模）如图，抛物线y=-

1

2

x²+

1

2

x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6）
（1）求A、B两点坐标；
（2）直线y=2x-3与x轴、y轴分别交于点M、N，与抛物线在第一象限交于点E，若N为线段ME中点，试判断四边形AMEC的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）令y=0得到有关x的一元二次方程，求解后即可求得A与B的坐标；
（2）作EF⊥x轴，F为垂足，分别求得线段AC=ME，CE=DC后即可利用对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形即可．

解答：解：（1）抛物线y=-

1

2

x2+

1

2

x+C过点C（0，6）
∴C=6
∴y=-

1

2

x2+

1

2

x+6
当y=0时，-

1

2

x2+

1

2

x+6=0，解得x₁=-3，x₂=4
∴A（-3，0）B（4，0）
（2）四边形AMEC为平行四边形，作EF⊥x轴，F为垂足
∵∠MON=∠EFN=90°
∠MNO=∠BNO
NM=NE
∴△MON≌△EFN
∴EF=OM=3
∴点E纵坐标为3
∵E在抛物线上∴3=-

1

2

x2+

1

2

x+6
解得x₁=3，x₂=-2（舍去）
∴D（3，3）∴AC=

47

，ME=

47

AM=3

2

，CE=3

2

∴AC=ME，CE=DC
∴四边形AMEC为平行四边形

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是二次函数与几何知识的结合题是近几年中考的热点考题之一．本题难度适中．