Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动正方形DEFG的顶点D，E分别在边AB，AC上的运动（D不与A，B重合），且边DE一直保持与边BC平行．
（1）求△ABC的面积；
（2）当边FG与边BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．根据等腰三角形的性质和勾股定理可求的AH，然后利用三角形的面积公式即可求解．
（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即可求得正方形DEFG的边长；
（3）如图2，根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AD，这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．然后再分别根据当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC和，当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，求y即可．

解答：解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．
∵AB=AC=5，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BH=CH=3．
∴AH=4．
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AH=12；

（2）设此时正方形的边长为a，（如图2）
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AM

AH

，即

a

6

=

4-a

4

．
解得a=

12

5

．
故正方形DEFG的边长为

12

5

；

（3）如图2，∵△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，即AD=2．
这样自变量x的取值范围为2个部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．
当0＜x≤2时，如图1，△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，即DE=

6

5

x．
∴y=DE²=(

6

5

x)2=

36

25

x²；
当2＜x＜5时，如图3，△BDP∽△BAH，
∴

BD

BA

=

DP

AH

，即

5-x

5

=

DP

4

．
∴DP=

4

5

（5-x）．
∴y=DE×DP=

6

5

x×

4

5

（5-x）=

24

5

x-

24

25

x²．
故所求函数关系式为y=

36 25 x2(0＜x≤2) 24 5 x- 24 25 x2(2＜x＜5).

点评：此题涉及到的知识点较多，有勾股定理．正方形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用学生系统的掌握知识，是一道好题．