Question

一次函数y=-

k+1

k

x+

2

k

（k为正整数）与x轴、y轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，设Rt△AOB的面积为S_k，求S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₅的值．

Answer 1

分析：首先求出一次函数y=-

k+1

k

x+

2

k

（k为正整数）与x轴、y轴的交点坐标A、B两点，然后表示出Rt△AOB的面积S_k，再用拆项法
表示出S_k，进而求出S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₅的值．

解答：解：∵一次函数y=-

k+1

k

x+

2

k

（k为正整数）与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当y=0，可求得：A（

2

k+1

，0），
当x=0，可求得：B（0，

2

k

），
∴S_k=

2

k(k+1)

=2(

1

k

-

1

k+1

)，
所以S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₅=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2005

-

1

2006

）]，
=2（1-

1

2006

），
=

2005

1003

．

点评：此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点求法，以及与坐标轴围成的面积求法等知识，将S_k=

2

k(k+1)

=2(

1

k

-

1

k+1

)进行拆项，是解决问题的关键．