Question

如图（1），已知在△ABC中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6。将△ACD沿箭头所示的方向平移，得到△A′CD′。如图（2），A′D′交AB于E，A′C分别交AB、AD于G、F。以D′D为直径作⊙O，设BD′的长为x，⊙O的面积为y。

（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）连结EF，求EF与⊙O相切时x的值；
（3）设四边形ED′DF的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1），
∴BD=CD=8，
∴DD′=BD-BD′=8-x，
∴，
即。
（2）∵△BD′E≌△CDF，
∴ED′=DF，
，
∴四边形ED′DF是矩形，
∴EF∥DD′，
若DF与⊙O相切，则ED′=D′D，
，
∴△BED′∽△BAD，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
因此，当时，EF与⊙O相切。
（3），
∴x=4时，满足0<x<8，S的值最大，最大值为12。