Question

如图，正方形ABCD中，点P是AD上的一动点（与点D、点A不重合），DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与DC交于点F．
（1）求证：△DEF∽△CEB；
（2）当点P运动到DA的中点时，求证：点F为DC的中点．

Answer 1

分析：（1）由DE⊥CP，EF⊥BE，则∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠2，再根据正方形的性质得∠4+∠6=90°，而∠4+∠5=90°，
则∠5=∠6，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得AD=DC=BC，而点P为DA的中点，则PD=

1

2

AD=

1

2

DC，再根据正切的定义得到tan∠4=

PD

DC

=

1

2

，tan∠4=

DE

EC

，则

DF

CB

=

DE

EC

=

1

2

，然后根据
△DEF∽△CEB得到

DF

CB

=

DE

EC

，易得

DF

DC

=

1

2

，即可得到结论．

解答：证明：（1）∵DE⊥CP，EF⊥BE，
∴∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠4+∠6=∠DCB=90°，
而在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，
∴∠5=∠6，
∴△DEF∽△CEB；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，
∵点P为DA的中点，
∴PD=

1

2

AD=

1

2

DC，
在Rt△PDC中，tan∠4=

PD

DC

=

1

2

，
在Rt△DEC中，tan∠4=

DE

EC

，
∴

DE

EC

=

PD

DC

=

1

2

，
∵△DEF∽△CEB，
∴

DF

CB

=

DE

EC

，
而CB=DC，
∴

DF

DC

=

1

2

，
∴点F为DC的中点．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角分别相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了正方形的性质以及锐角三角函数的定义．