Question

已知实数a、b、c、d互不相等，且a+

1

b

=b+

1

c

=c+

1

d

=d+

1

a

=x，试求x的值．

Answer 1

分析：由已知a+

1

b

=x； b+

1

c

=x；c+

1

d

=x；d+

1

a

=x；得出a与b的关系式，进而得出a与c的关系式，得出a与d的关系式，分析得出x的值．

解答：解：由已知有a+

1

b

=x，①； b+

1

c

=x，②；c+

1

d

=x，③；d+

1

a

=x，④；
由①解出b=

1

x-a

⑤代入②得c=

x-a

x2-ax-1

⑥
将⑥代入③得

x-a

x2-ax-1

+

1

d

=x
即dx³-（ad+1）x²-（2d-a）x+ad+1=0⑦
由④得ad+1=ax，代入⑦得（d-a）（x³-2x）=0
由已知d-a≠0，∴x³-2x=0
若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．
故有x²=2，x=±

2

点评：此题主要考查了分式的等式变形，运用未知数简介代换得出两式相乘等于0的形式，是解决问题的关键．