Question

已知函数y=x²+（2m+1）x+m²-1，其中m为实数．
（1）当m是什么数值时，y有最小值为0？
（2）求证：不论m是什么数值时，抛物线的顶点都在同一直线l上；
（3）求证：任何一条平行于l而与抛物线相交的直线被各抛物线截出的线段都相等．

Answer 1

分析：（1）运用顶点式求出二次函数的顶点坐标，即可得出m的值；
（2）根据二次函数的顶点坐标，得出顶点坐标的横纵坐标，即可得出有关x，y的函数关系式，从而证明结论；
（3）利用根的判别式得出b的取值范围，进而求出方程的两根，根据两根之间距离得出答案．

解答：解：（1）∵y=x²+（2m+1）x+m²-1，
∴y=(x+

2m+1

2

)2-

4m+5

4

，
∴y的最小值为-

4m+5

4

，
∵y有最小值为0，
∴-

4m+5

4

=0，
∴m=-

5

4

；

（2）∵抛物线的顶点坐标为（-

2m+1

2

，-

4m+5

4

），
∴x=-m-

1

2

，y=-m-

5

4

，
∴y=x-

3

4

∴不论m是什么数值时，抛物线的顶点都在同一直线y=x-

3

4

上；

（3）设直线y=x+b为任一平行于l的直线，
则y=x+b，y=x²+（2m+1）x+m²-1，
∴x²+2mx+m²-b-1=0，
∵△=（2m）²-4（m²-b-1）≥0，
∴b≥-1
即当b≥-1时，直线l与抛物线相交，
当b≥-1时，x=-m±

b+1

，
∴x1=-m+

b+1

，x2=-m-

b+1

，
∵直线l的k=1，
∴直线l被抛物线截出的线段长为：

2

(x1-x2)，
∴

2

[(-m+

b+1

)-(-m-

b+1

)]=2

2(b+1)

，
这与m无关，因此直线y=x+b被抛物线截出的线段都相等．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数与一元二次方程根的判别式有机结合是难点内容，应正确的分析，求二次函数顶点坐标是中考中重点内容同学们应熟练掌握．