Question

【题目】如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．

（1）底面的长AB＝　 cm，宽BC＝　 cm（用含x的代数式表示）

（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积．

（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）50﹣2x，30﹣2x；（2）当x1＝10时，盒子容积为3000cm3；（3）当x＝10时，S有最大值，最大值为800．

【解析】

（1）利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出AB与BC的长即可；

（2）利用（1）中长与宽以及盒子的底面积为300cm2时得出x的值，即可的求出盒子的容积；

（3）利用盒子侧面积为：S=2x（50-2x）+2x（30-2x）进而利用配方法求出最值即可．

（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，

设小正方形的边长为xcm，

∴底面的长AB＝（50﹣2x）cm，宽BC＝（30﹣2x）cm，

故答案为：50﹣2x，30﹣2x；

（2）依题意，得：

（50﹣2x）（30﹣2x）＝300

整理，得：x2﹣40x+300＝0

解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）

当x1＝10时，盒子容积＝（50﹣20）（30﹣20）×10＝3000（cm3）；

（3）盒子的侧面积为：

S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）

＝100x﹣4x2+60x﹣4x2

＝﹣8x2+160x＝﹣8（x2﹣20x）

＝﹣8[（x﹣10）2﹣100]

＝﹣8（x﹣10）2+800

∵﹣8（x﹣10）2≤0，

∴﹣8（x﹣10）2+800≤800，

∴当x＝10时，S有最大值，最大值为800．