Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=45°．以AB为直径的⊙O与BC相切于B，交AC于点D，CO的延长线交⊙O于点E，过点作弦EF⊥AB，垂足为点G．

（1）求证：①EF∥CB，②AD=CD；
（2）若AB=10，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①连接BD．

∵BC是⊙O的切线，

∴AB⊥BC，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AB．

②∵∠ABC=90°，∠A=45°，

∴∠A=∠ACB=45°，

∴BA=BC，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∴AD=DC

（2）解：∵AB=CB=10，

∴OE=OB=5，

在Rt△BOC中，OC= =5 ，

∵EG∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

∴EG=2 ，

∵OA⊥EF，

∴EG=GF=2 ，

∴EF=4 ．

【解析】①已知BC是⊙O的切线及EF⊥AB，易证得EF∥AB；’②已知AB是圆的直径，因此连接BD，证得∠ADB=90°，再证明BA=BC，根据等腰三角形的性质即可得出结论。
（2）在Rt△BOC中利用勾股定理求出OC的长，由EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理，得出对应线段成比例，建立方程求出EG的长，再利用垂径定理即可解决问题。
【考点精析】利用平行线的性质和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．