Question

（2012•河北区一模）在△ABC中，BC=10，AB=4

3

，∠ABC=30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离PD为1（D为垂足），连CD，则△PCD的面积为

2

5

3

或

3

5

3

．

Answer 1

分析：过C作CE⊥AB，交BA的延长线于E，求出CE，求出AE，求出AC，求出AP，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出即可．

解答：解：过C作CE⊥AB，交BA的延长线于E，
∵BC=10，∠ABC=30°，
∴CE=5，
由勾股定理得：BE=

BC2-CE2

=5

3

，
∵AB=4

3

，
∴AE=5

3

-4

3

=

3

，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC=

( 3 )2+52

=2

7

，
∵PD⊥BA，CE⊥BA，
∴PD∥CE，
∴△ADP∽△AEC，
∴

DP

CE

=

AP

AC

∴

1

5

=

AP

2 7

，
∴AP=

2 7

5

．
①当P在AC上时，在Rt△ADP中，由勾股定理得：AD=

( 2 5 7 )2-12

=

1

5

3

，
DE=AE-AD=

3

-

1

5

3

=

4

5

3

，
即△PCD的面积是：S_△AEC-S_△ADP-S_△DEC
=

1

2

×AE×CE-

1

2

×AD×PD-

1

2

×DE×CE
=

1

2

×

3

×5-

1

2

×

1

5

3

×1-

1

2

×

4

5

3

×5
=

2

5

3

；

②当P在CA延长线上时，
△PCD的面积是：S_△ADP+S_△ADC
=

1

2

×AD×PD+

1

2

×AD×CE
=

1

2

×

1

5

3

×1+

1

2

×

1

5

3

×5
=

3

5

3

．
故答案为：

2

5

3

或

3

5

3

．

点评：本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点，关键是求出各条线段的长，注意本题有两种情况：①P在线段AC上，②P在CA的延长线上．