Question

如图，过点A（1，0）作x轴的垂线与直线y=x相交于点B，以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、D，抛物线y=x²+px+q经过点B、C．
（1）求p、q的值；
（2）设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，连接CE并延长与⊙O相交于点F，求EF的长；
（3）记⊙O与x轴负半轴的交点为G，过点D作⊙O的切线与CG的延长线相交于点H．点H是否在抛物线上？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点A（1，0）作x轴的垂线与直线y=x相交于点B，从而求出B点的坐标，以及C点的坐标，将B，C分别代入即可求出p，q的值；
（2）运用配方法求出二次函数的顶点坐标，再利用勾股定理求出CE的长，由Rt△CFD∽Rt△COE，求出EF的长；
（3）首先求出直线CG为：y=-x-1，进而求出点H的坐标为（-2，1）．代入解析式即可．

解答：解：
（1）∵点A（1，0）作x轴的垂线与直线y=x相交于点B点，
∴B（1，1），
∵以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、点A（1，0），
∴C（0，-1）．
代入y=x²+px+q，得，p=1，q=-1．

（2）由y=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
得CE=

OE2+1

=

5

2

．
连接DF．由Rt△CFD∽Rt△COE，
得

CD

CE

=

CF

CO

．
∴CF=

4 5

5

．
∴EF=CF-CE=

3 5

10

．

（3）设过点C、G的直线为y=kx+b．
将点C（0，-1），G（-1，0）代入，
得直线CG为：y=-x-1．
过点D作⊙O的切线与CG的延长线相交于点H．
∵DH平行于x轴，∴点H的纵坐标为1．
将y=1代入y=-x-1，得x=-2．
∴点H的坐标为（-2，1）．
又当x=-2时，y=x²+x-1=1，
∴点H在抛物线y=x²+x-1上．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及相似三角形的性质与判定和待定系数法求函数解析式等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．