Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠DOA=60°，AC的长为8cm，求菱形OCED的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判定四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）过点D作DF⊥AC于F，先判定出△DOA是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AF并利用勾股定理求出DF的长度，再根据菱形的面积公式进行计算即可得解．
解答：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴AO=OC=OB=OD=AC=BD，
∴四边形OCED是菱形；

（2）解：过点D作DF⊥AC于F，
由上可知OA=OD=AC=×8=4cm，
∵∠DOA=60°，
∴△DOA是等边三角形，
∴AF=OA=2cm，
∴DF===2cm，
∴菱形OCED的面积为：OC×DF=4×2=8cm．
点评：本题主要考查了矩形、平行四边形、菱形、等边三角形的性质和判定等基础知识，还考查了几何推理能力．