Question

如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=，求△CBD的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由AB是⊙O的直径可得出∠ADB=90°，再根据∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切线；
（2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB=10，sin∠DAB=可求出BD的长，再由C是弧AB的中点，可知∠ADC=∠CDB=45°，根据BG=DG=BDsin45°可求出BG的长，由∠DAB=∠DCB可得出CG的长，进而得出CD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，
∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，
∴AB⊥EF
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，
在Rt△ABD中
∵AB=10，sin∠DAB=
又∵sin∠DAB=
∴BD=6
∵C是弧AB的中点，
∴∠ADC=∠CDB=45°，
∴BG=DG=BD×sin45°=6×=3，
∵∠DAB=∠DCB
∴tan∠DCB==，
∴CG=
∴CD=CG+DG=4+3=7，
∴S_△CBD=CD•BG==21．
点评：本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．