Question

已知在△ADC中，∠ADC=90°，以CD为直径作半圆O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED=2∠C
（1）求证：BF是圆O切线
（2）若BF=FC，AE=，求圆O的半径。

Answer 1

（1）连接DF、OF，OF=OC
∴∠DFC=90°,∠OFC=∠C
∵∠BED=∠AEF=∠EDF+∠EFD=2∠C
∴∠EFD=∠C=∠OFC
∵∠DFO+∠OFC=90°
∴∠EFD+∠DFO=90°
∴∠EFO=∠BFO=90°
即OF⊥BF
∴BF是圆O切线
（2）∵BF=FC
∴△BFC是等腰三角形
∴∠B=∠C
∵∠BED=2∠C，∠B+∠BED=∠ADB=∠ADC=90°
∴∠C+2∠C=90°∴∠C=30°
∴∠A=60°，∠AEF=∠BED=2∠C=60°
∴△AEF是等边三角形
∴AE=EF=
∵AD和BF是圆的切线，即ED、EF是圆的切线
∴ED=EF=
∴AD=AE+ED=
∵在Rt△ADC中，∠C=30°
∴AC=2AD=2×2=4
∴CD²=AC²-AD²=(4)²-(2)²=36CD=6
∴圆O的半径OC=OD=CD/2=3