题目内容

如图在平面直角坐标系中，坐标原点O，A点坐标为（4，0），B点坐标（-1，0），以AB中点P为圆心，AB为直径作⊙P交y轴正半轴于C点
（1）求经过A、B、C三点抛物线解析式．
（2）M为（1）中抛物线顶点，求直线MC对应函数表达式．
（3）试说明MC与⊙P的位置关系，并说明你的结论．

解：（1）∵A（4，0），B（-1，0），
∴AB=5，半径是PC=PB=PA= $\text{[math]}$ ，
∴OP= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ，
在△CPO中，由勾股定理得：OC= $\text{[math]}$ =2，
∴C（0，2），
设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
∴a=- $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ （x-4）（x+1）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2，
答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2．

（2）y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，
把C（0，2），M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入得： $\text{[math]}$ ，

解得：k= $\text{[math]}$ ，b=2，
∴y= $\text{[math]}$ x+2，
y= $\text{[math]}$ x+2．
答：直线MC对应函数表达式是y= $\text{[math]}$ x+2．

（3）MC与⊙P的位置关系是相切，
证明：设直线MC交X轴于D，
当y=0时，0= $\text{[math]}$ x+2，
∴x=- $\text{[math]}$ ，OD= $\text{[math]}$ ，
∴D（- $\text{[math]}$ ，0），
在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
PC²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
PD²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CD²+PC²=PD²，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC为半径，
∴MC与⊙P的位置关系是相切．
分析：（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；
（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．