题目内容

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，过点C作CC₁⊥AB于C₁，过点C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，过点C₂作C₂C₃⊥AB于C₃…，按此作法进行下去，则 $数学公式$ =________（其中n≥2）．

$\text{[math]}$
分析：先在△ABC中由勾股定理求出AB= $\text{[math]}$ ，根据正弦函数的定义得出sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后依次在△BC₁C、△C₂C₁C、△C₃C₂C₁、△C₄C₃C₂中，求出 $\text{[math]}$ =sinB= $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ =sinB= $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ =sinB= $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ =sinB= $\text{[math]}$ ；同理可得 $\text{[math]}$ =sinB= $\text{[math]}$ ．
解答：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
在△BC₁C中，∵∠BC₁C=90°，
∴sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

在△C₂C₁C中，∵∠C₁C₂C=90°，
∠C₁CC₂=90°-∠BCC₁=∠B，
∴sin∠C₁CC₂=sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
在△C₃C₂C₁中，∵∠C₂C₃C₁=90°，C₁C₂∥BC，
∴∠C₃C₁C₂=∠B，
∴sin∠C₃C₁C₂=sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
在△C₄C₃C₂中，∵∠C₃C₄C₂=90°，
∠C₄C₂C₃=90°-∠A=∠B，
∴sin∠C₄C₂C₃=sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
同理可得
$\text{[math]}$ =sinB= $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，平行线、垂线的性质等知识点，关键在于熟练运用三角函数的定义得出sinB= $\text{[math]}$ ，然后总结出规律．