题目内容
已知存在正整数n，能使数
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| n个1 |
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| n个1 |
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| n个9 |
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| n个8 |
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| n个7 |
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| n+1个1 |
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| n+1个9 |
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| n+1个8 |
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| n+1个7 |
分析：先设m=111…1 （n个1），由m被1987整除，得 m=1987×k，把m的值代入p可得p=1987k[103n+9×102n+8×10n+7]，故p能被1987整除；同理，把 m=1987×k，代入q把原式进行化简的可得到1987的倍数，故可得出结论．
解答：解：因为m=111…1 （n个1），m被1987整除，所以可设m=1987×k，
（1）p=m×103n+9m×102n+8m×10n+7m
=m[103n+9×102n+8×10n+7]
=1987k[103n+9×102n+8×10n+7]
所以p能被1987整除；
（2）q=（10m+1）×103n+3+9（10m+1）×102n+2+8（10m+1）×10n+1+7（10m+1）
所以1987能整除 103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7，
由1987整除m，得1987整除9m=10n-1，
所以1987整除 10n+1-10，102n+2-100，103n+3-1000，
所以1987整除 103n+3-1000+9×102n+2-900+8×10n+1-80，
所以1987整除 103n+3-1000+9×102n+2-900+8×10n+1-80+1987，
所以1987整除 103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7．
所以q能被1987整除．
（1）p=m×103n+9m×102n+8m×10n+7m
=m[103n+9×102n+8×10n+7]
=1987k[103n+9×102n+8×10n+7]
所以p能被1987整除；
（2）q=（10m+1）×103n+3+9（10m+1）×102n+2+8（10m+1）×10n+1+7（10m+1）
所以1987能整除 103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7，
由1987整除m，得1987整除9m=10n-1，
所以1987整除 10n+1-10，102n+2-100，103n+3-1000，
所以1987整除 103n+3-1000+9×102n+2-900+8×10n+1-80，
所以1987整除 103n+3-1000+9×102n+2-900+8×10n+1-80+1987，
所以1987整除 103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7．
所以q能被1987整除．
点评：本题考查的是数的整除性问题，能根据题意设出m=1987×k的形式是解答此题的关键．
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