题目内容
【题目】下图是一座抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4 m．从O，A 两处观测P 处，仰角分别为α，β，且tanα＝
，tanβ＝
.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
(1)求点P的坐标；
(2)若水面上升1 m，则水面宽多少米（
取1.41，结果精确到0.1 m)?
【答案】（1）点P 的坐标为(3，
)；（2）水面上升1 m，则水面宽约2.8 m.
【解析】
（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．
(1)如图，过点P 作PB⊥OA，垂足为B.设点P 的坐标为(x，y)．在Rt△POB 中，
∵tanα＝
，
∴ OB＝
＝2y.
在Rt△PAB 中，∵tanβ＝
，
∴ AB＝
y.
∵ OA＝OB＋AB，
即2y＋
y＝4，
∴ y＝.
∴ x＝2×＝3.
∴ 点P 的坐标为(3，)．
(2)设这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx，由函数图象经过(4，0)，(3，)两点，可得
解方程组，得
，
∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－
x2＋2x.当水面上升1 m 时，水面的纵坐标为1，即－x2＋2x＝1，解得x1＝2－
，x2＝2＋，
∴x2－x1＝2＋－(2－)＝2≈2.8.
因此，若水面上升1 m，则水面宽约2.8 m.
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