Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(-3，0)，点B的坐标为(0，4)，已知点E(m，0)是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式为；

（2）PG=－m2－m；

（3）m的值为-1或

【解析】试题分析：（1）将A（1，0），B（0，4）代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，-m2-m+4），G（m，4），则PG=-m2-m+4-4=-m2-m，点P在直线BC上方时，故需要求出m的取值范围；

（3）先由抛物线的解析式求出D（-3，0），则当点P在直线BC上方时，-2<m<0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m， m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．

试题解析：

(1)解析式为

(2)∵E(m，0)，B(0，4)，PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，

∴P(m，－ m2－m+4)，G(m，4)，

∴PG=－m2－m+4－4=－m2－m；

(3)在(2)的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．

当点P在直线BC上方时，－3＜m＜0．

设直线BD的解析式为y=kx+4，

将D(－3，0)代入，得－3k+4=0，解得k=.

∴直线BD的解析式为y=x+4.∴H(m， m+4)．

分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么，即

由－3＜m＜0，解得m=－1.

②如果△PGB∽△DEH，那么，即 ,

由－3＜m＜0，解得m=．

综上所述，在(2)的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为-1或．