Question

已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1．
（1）当此函数的图象与x轴有两个交点时，求a的取值范围；
（2）当a为正整数时，设此函数的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）若a依次取1，2…，2010时，函数的图象与x轴相交所截得的2010条线段为A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，试求它们的长的和．

Answer 1

解：（1）依题意a的取值必须满足，
解得a为不等于0和-1的任意实数；
（2）设A、B两点坐标为A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁，x₂是方程a（a+1）x²-（2a+1）x+1=0的两个不等实根，
则AB的长为①
∵，
代入①式得；
∵a为正整数，
∴；
（3）当a依次取1，2，…，2010时，所截得的线段长分别为，，…
，，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|，
=+…+，
=，
=1-，
=．
分析：（1）利用根的判别式与二次函数的定义解答即可；
（2）利用两点之间的距离公式以及根与系数的关系解答即可；
（3）顺次代入（2）中的通项，利用数的规律解决问题．
点评：此题考查二次函数图象与x轴交点坐标的特征、根与系数的关系、两点之间的距离公式以及运用数的规律灵活计算．