Question

如图，正方形ABCF中，点D在对角线AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB=4

2

，DC=3AD时，①求DE的长．②求EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可以得到：△ABD≌△CBE，∠BAC=∠BCE=45°，而∠DCB=45°，根据∠DCE=∠DCB+∠BCE即可求解；
（2）①在直角△ABC中，利用勾股定理即可求得AC的长，再根据DC=3AD，求得DC和AD的长，在直角△CDE中，利用勾股定理即可求得DE的长；
②过E点做FC的垂线交FC的延长线于点M，则△ECM是等腰直角三角形，在直角△EFM中，利用勾股定理即可求得EF的长．

解答：解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°

（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=4

2

，
∴AC=8
又∵DC=3AD，
∴AD=2，DC=6，
由（1）知AD=CE且∠DCE=90°，
∴DE²=DC²+CE²=6²+2²=40，
∴DE=2

10

；
②过E点做FC的垂线交FC的延长线于点M，
EM=CM=

2

，
∴FM=FC+CM=4

2

+

2

=5

2

，
∴EF=

EM2+FM2

=

(5 2 )2+( 2 )2

=3

6

．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．